18 задание ЕГЭ по информатике в Excel: полное руководство с формулами и примерами

18 задание в ЕГЭ по информатике — одно из самых сложных для выпускников, требующее работы с логическими выражениями и таблицами истинности. Многие ученики теряют драгоценные баллы из-за неумения правильно составить формулы в Microsoft Excel или LibreOffice Calc. Однако с правильным подходом это задание можно решить за 10-15 минут, используя всего несколько ключевых функций.

В этой статье мы разберём алгоритм решения 18 задания с нуля: от анализа условия до записи итоговой формулы. Вы узнаете, как преобразовать логическое выражение в таблицу, какие функции Excel использовать для разных типов задач, и как избежать типичных ошибок при проверке. Особое внимание уделим работе с битами, масками и логическими операциями — именно они чаще всего вызывают затруднения.

Материал будет полезен не только выпускникам, но и учителям информатики, репетиторам, а также всем, кто хочет научиться работать с логическими выражениями в электронных таблицах. Мы рассмотрим реальные примеры из ЕГЭ прошлых лет и покажем, как их решать без ошибок.

1. Разбор структуры 18 задания ЕГЭ по информатике

18 задание в ЕГЭ проверяет умение работать с логическими выражениями и таблицами истинности. Типичная формулировка звучит так:

"Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например, 14&5 = 1110₂&0101₂ = 0100₂ = 4. Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула (x&28 ≠ 0) → ((x&17 = 0) → (x&А ≠ 0)) тождественно истинна?"

В задании всегда присутствуют:

• 🔹 Поразрядные операции (&, |, →, ¬) — их нужно правильно интерпретировать.
• 🔹 Условие тождественной истинности — формула должна выполняться для всех возможных значений переменных.
• 🔹 Поиск минимального (или максимального) значения параметра (А, B, C и т.д.).

Основная сложность — перевод логического выражения в таблицу истинности и дальнейшая работа с битами. В Excel это делается через функции И(), ИЛИ(), НЕ() и побитовые операции (если они поддерживаются).

2. Подготовка Excel для решения задачи

Прежде чем приступать к решению, нужно правильно организовать таблицу в Excel. Вот пошаговая инструкция:

Шаг 1. Создайте столбцы для всех переменных.

• 📌 Если в задаче одна переменная (например, x), достаточно одного столбца.
• 📌 Если переменных несколько (например, x, y, z), для каждой выделяйте отдельный столбец.

Шаг 2. Заполните столбец всеми возможными значениями переменных.

Для 8-битного числа x (0–255) используйте формулу:

=ДЕС.В.ДВ(СТРОКА(A1)-1; 8)

Эта формула преобразует номер строки в двоичное число. Например, в ячейке A1 будет 00000000, в A2 — 00000001 и т.д.

Шаг 3. Добавьте столбцы для промежуточных вычислений.

Для каждой части логического выражения (например, x&28 ≠ 0, x&17 = 0) создайте отдельный столбец.

Пример организации таблицы:

3. Преобразование логических выражений в формулы Excel

Ключевой этап — запись логического выражения из условия в виде формул Excel. Рассмотрим основные операции и их аналоги:

Базовые логические функции:

• 🔧 Конъюнкция (И) → =И(условие1; условие2) или =ИЛИ(НЕ(условие1); НЕ(условие2)) для операции NAND.
• 🔧 Дизъюнкция (ИЛИ) → =ИЛИ(условие1; условие2).
• 🔧 Отрицание (НЕ) → =НЕ(условие).
• 🔧 Импликация (→) → =ИЛИ(НЕ(посылка); заключение).

Поразрядные операции (если они есть в задаче):

В Excel нет встроенных функций для побитовых AND (&) и OR (|), но их можно эмулировать:

• 🔹 Для x&28 используйте: =ОСТАТ(ЦЕЛОЕ(x/2^(n-1)); 2) для каждого бита, где n — позиция бита (от 1 до 8).
• 🔹 Или воспользуйтесь надстройкой "Побитовые операции" (если она установлена).

Пример перевода выражения:

Возьмём формулу из условия: (x&28 ≠ 0) → ((x&17 = 0) → (x&А ≠ 0)).

В Excel это будет записано как:

=ИЛИ(
НЕ(ИЛИ(ОСТАТ(ЦЕЛОЕ(A2/16);2); ОСТАТ(ЦЕЛОЕ(A2/8);2)));  -- x&28 ≠ 0
ИЛИ(
НЕ(И(ОСТАТ(A2;2)=0; ОСТАТ(ЦЕЛОЕ(A2/16);2)=1));     -- x&17 = 0
ИЛИ(ОСТАТ(ЦЕЛОЕ(A2/4);2); ОСТАТ(ЦЕЛОЕ(A2/2);2))     -- x&A ≠ 0 (пример для A=12)
)
)

4. Поиск минимального значения параметра А

После того как таблица заполнена, нужно найти минимальное А, при котором формула тождественно истинна. Алгоритм действий:

Шаг 1. Проверьте все строки на истинность.

В последнем столбце (с результатом формулы) не должно быть ни одного значения ЛОЖЬ. Если есть хоть одно ЛОЖЬ, значит, текущее А не подходит.

Шаг 2. Используйте метод перебора.

Начните с A=0 и увеличивайте значение, пока все строки не станут истинными. Для ускорения процесса можно использовать двоичный поиск:

• 🔍 Проверьте A=128 (середина диапазона 0–255).
• 🔍 Если формула ложна, проверьте A=64 или A=192 в зависимости от результата.

Шаг 3. Автоматизируйте проверку.

Создайте отдельную ячейку с формулой:

=ЕСЛИ(СЧЁТЕСЛИ(диапазон_результатов; "ЛОЖЬ")=0; "Подходит"; "Не подходит")

Эта формула покажет, подходит ли текущее А.

Пример нахождения А:

Допустим, при A=12 все строки истинны, а при A=8 — нет. Значит, минимальное А находится между 8 и 12. Проверяем A=9, A=10 и т.д., пока не найдём минимальное подходящее значение.

5. Типичные ошибки и как их избежать

Даже опытные ученики допускают ошибки при решении 18 задания. Вот самые распространённые:

Ошибка 1. Неправильная интерпретация поразрядных операций.

Многие путают x&28 с умножением или сложением. Это побитовое И! Например:

• 🚫 Неверно: x*28 или x+28.
• ✅ Верно: проверка битов x в позициях, где у 28 стоят единицы (биты 3 и 4, так как 28 = 11100₂).

Ошибка 2. Пропуск крайних случаев.

Всегда проверяйте x=0 и x=255 — они часто "ломают" формулу. Например, если в условии есть x&А ≠ 0, то при x=0 это выражение всегда ложно.

Ошибка 3. Неправильный перевод импликации.

Импликация A → B эквивалентна ¬A ∨ B, а не A ∧ B! В Excel это записывается как:

=ИЛИ(НЕ(A); B)

Ошибка 4. Использование десятичных чисел вместо двоичных.

Всегда работайте с двоичным представлением чисел, особенно если в задаче есть поразрядные операции. Например, 17 в двоичной системе — 00010001, а не просто 17.

⚠️ Внимание: Если в задаче используется отрицание (например, ¬(x&17 = 0)), в Excel его нужно записывать как =НЕ(x&17 = 0), а не =x&17 ≠ 0. Это разные выражения!

6. Пример решения реальной задачи из ЕГЭ

Разберём задачу из демоверсии ЕГЭ 2023 года:

"Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например, 14&5 = 4. Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула (x&29 ≠ 0) → ((x&12 = 0) → (x&А ≠ 0)) тождественно истинна?"

Шаг 1. Анализ выражения.

Формула имеет вид P → (Q → R), где:

• 🔹 P = x&29 ≠ 0 (биты 0, 2, 3, 4 проверяются на единицу).
• 🔹 Q = x&12 = 0 (биты 2 и 3 равны нулю).
• 🔹 R = x&A ≠ 0 (хотя бы один из битов A и x совпадает).

Шаг 2. Построение таблицы в Excel.

Создаём столбцы:

1. Столбец A: значения x от 0 до 255.
2. Столбец B: x&29 ≠ 0 → =ИЛИ(ОСТАТ(A2;2); ОСТАТ(ЦЕЛОЕ(A2/4);2); ОСТАТ(ЦЕЛОЕ(A2/8);2); ОСТАТ(ЦЕЛОЕ(A2/16);2)).
3. Столбец C: x&12 = 0 → =И(ОСТАТ(ЦЕЛОЕ(A2/4);2)=0; ОСТАТ(ЦЕЛОЕ(A2/8);2)=0).
4. Столбец D: x&A ≠ 0 (зависит от A).
5. Столбец E: итоговая формула =ИЛИ(НЕ(B2); ИЛИ(НЕ(C2); D2)).

Шаг 3. Поиск минимального А.

Перебираем А от 0 вверх:

• 🔎 При A=0: формула ложна для x=8 (например).
• 🔎 При A=4: формула ложна для x=20.
• 🔎 При A=8: все строки истинны.

Ответ: минимальное А = 8.

7. Оптимизация решения: как решать быстрее

Решать 18 задание вручную долго, но есть способы ускорить процесс:

Способ 1. Используйте двоичные маски.

Если в условии есть x&28, сразу запишите 28 в двоичном виде: 00011100. Это значит, что проверяются биты 2, 3 и 4 (нумерация с 0). Аналогично поступайте с другими числами.

Способ 2. Исключайте заведомо неподходящие А.

Например, если в формуле есть x&A ≠ 0, то А должно иметь хотя бы один бит, установленный в 1. Значит, A=0 можно сразу отбросить.

Способ 3. Используйте Power Query для генерации таблиц.

Вместо ручного заполнения столбца с x от 0 до 255, используйте:

1. Перейдите на вкладку Данные → Получить данные → Из других источников → Пустой запрос.
2. В редакторе Power Query введите: = {0..255}.
3. Нажмите Закрыть и загрузить.

Sub FindMinA()
Dim A As Integer
For A = 0 To 255
If CheckFormula(A) Then
MsgBox "Минимальное A: " & A
Exit Sub
End If
Next A
End Sub

Function CheckFormula(A As Integer) As Boolean
' Здесь реализуйте проверку всех x от 0 до 255
End Function

def check_A(A):
for x in range(256):
P = (x & 29) != 0
Q = (x & 12) == 0
R = (x & A) != 0
if not (not P or (not Q or R)):
return False
return True

for A in range(256):
if check_A(A):
print(f"Минимальное A: {A}")
break

truth table (x & 29 != 0) -> ((x & 12 == 0) -> (x & A != 0))

=И(A; НЕ(B))

=И(И(ОСТАТ(A2;2)=0; ОСТАТ(ЦЕЛОЕ(A2/16);2)=1); ОСТАТ(ЦЕЛОЕ(A2/4);2)=0; ОСТАТ(ЦЕЛОЕ(A2/2);2)=0)